Differential calculus

Diferenciálny počet a jeho proces derivácie ma fascinoval už od strednej školy. Princíp som poznal už na základnej škole, avšak aj na strednej škole a neskôr mi podstata ostala viac-menej utajená. Pritom použitie bolo pomerne jednoduché. Určitú sadu vzorcov sme aplikovali na nejaké funkcie, v ktorých sme očakávali určité výstupy. Avšak čo sa dialo na pozadí tohto procesu bolo určitým spôsobom záhadné a jedinečné. Isaac Newton ako "objaviteľ" kalkulu (diferenciálneho a integrálneho počtu), ak sa to tak dá nazvať, trpel chorobným strachom z kritiky. Takýto strach často sprevádzajú úzkosti a pocity menejcennosti. Aj preto väčšinu svojich prác nepublikoval, vrátane kalkulu. Až astronóm Edmund Halley ho presvedčil, aby pripravil k vydaniu niektoré časti o zákonoch pohybu a gravitácie. Jeho dielo Matematické základy prírodovedy navždy zmenili pohľad na prírodné vedy. Gottfried Wilhelm Leibniz objavil a vydal kalkulus o niečo málo neskôr ako Newton, čo mu mnohí vytýkali, že to od neho prebral. Newton mu niektoré zápisky poslal dobrovoľne, na jeho požiadanie. Newtonové pojatie kalkulu sa odlišovalo od Leibnizovho hlavne zápisom. Newtonová verzia nebola dobre zrozumiteľná, Leibniz používal geometrický princíp, jeho metóda bola prirodzenejšia. Takže Newtonová symbolika sa používa dodnes skôr vo fyzike a Leibnizova v matematike (aj keď sa prelínajú samozrejme). Dnes považujeme obidvoch za otcov kalkulu. Ale treba podotknúť, že samotné zárodky kalkulu, jeho metódy, a vôbec myšlienka ako taká už bola známa niektorím vedcom už dávnejšie. Bolo to niečo podobné ako s Einsteinovou teóriou relativity. Tieto teórie nevznikali zo dňa na deň, boli výsledkom mnohých vedcov po mnohé stáročia. Diferenciálnym počtom už ako z názvu vyplýva je možné počítať nejaké diferencie, zmeny. Teda diferenciálnym počtom je možné analyzovať zmeny objektu, jeho pohyb. Ale medzi pohybom a zmenou musí existovať vzťah. A tento vzťah hľadáme práve diferenciálnym počtom. Čiže snažíme sa nájsť mieru zmeny nejakej meniacej sa veličiny, objektu. A práve na to slúži derivovanie. Smer pohybu daného objektu musí byť popísaný vzorcom. Derivovaním tohto vzorca sa vytvorí nový vzorec, ktorý už udáva hľadanú mieru zmeny. Typickým príkladom je klasický príklad z fyziky, kde máme auto idúce po ceste. Premenná s bude označovať dráhu auta, ktorá sa mení v závislosti na čase t podľa vzorca:

 

Podľa diferenciálneho počtu je rýchlosť auta v, čiže miera zmeny polohy, v ľubovoľnom čase t daná vzorcom:

Výraz 10t+3 vznikol derivovaním výrazu 5t^2+3t. Rýchlosť auta nie je konštantná a mení sa s časom, tak ako aj dráha. Ak aplikujeme proces derivovania ešte raz získame zrýchlenie a = 10, ktoré je konštantné. Základom všetkého je funkcia. Bez funkcie by neexistovala derivácia. Funkcia je predpis podľa ktorého je ku každému číslu z danej množiny priradené iné číslo, tzv. funkčná hodnota. Takáto funkcia je zobraziteľná v euklidovskom priestore, čo je pri derivácii výhodné z hľadiska pochopenia. Derivácie ako také je možné použiť aj v iných odvetviach vedy, často vo fyzike, geometrii a technických disciplínach. Derivácia je dobrá v tom (okrem iného), že nám dokáže povedať niečo o priebehu pôvodnej funkcie. Takže napr. máme funkciu (na obrázku nižšie znázornená červenou farbou):

 

Táto môže predstavovať čokoľvek, od rastu cien HDP až po priebeh teploty. Máme potom druhú funkciu, jej deriváciu v tvare (na obrázku znázornená modrou farbou):

 

Pôvodná (nederivovaná) funkcia f je rastúca, keï jej derivácia nadobúda kladné hodnoty a klesajúca, keď derivácia nadobúda záporné hodnoty. Bod, v ktorom má funkcia f maximum je v bode, kde je hodnota derivácie nulová. Teda z derivácie je možné vyčítať niektoré informácie o priebehu pôvodnej funkcie.

Takúto deriváciu je možné naprogramovať. Ale ešte predtým ju treba zadefinovať. Teda, nech funkcia f(x) je definovaná v okolí bodu a. Potom môžme napísať niečo také:

Túto limitu nazveme deriváciou funkcie f(x) v bode a, čo sa označuje f'(a). Príklad: Máme vypočítať deriváciu funkcie v bode a.

 

Výsledkom tejto derivácie bude hodnota, číslo, v bode a. Toto číslo dostaneme tak, že spočítame limitu pre x idúce do a. Prečo počítame toto a prečo takto sa dozvieme neskôr. Zatiaľ vypočítame príklad podľa vzťahov. Takže dostaneme niečo také:

 

Čiže, ak zderivujeme funkciu f(x) = x^3 dostaneme f'(x) = 3x^2. V našom prípade v bode a a dosadením ľubovoľného čísla v tomto bode dostaneme hodnotu zderivovanej funkcie f(x). Program vyzerá nasledovne. Bol použitý programovací jazyk C s hlavičkovými súbormi:

#include <stdio .h="">
#include<stdlib .h="">
#include <math .h="">
</math></stdlib></stdio></pre>
                    
Zadefinujeme si funkciu <code><font size="3">f</font></code> s jedným vstupným parametrom typu <code><font size="3">float</font></code>, ktorý vráti hodnotu funkcie typu <code><font size="3">float</font></code> v tomto bode:

<pre>float f(float x)
{
    return x*x*x;
}

A teraz si definujeme funkciu, ktorá bude počítať, aproximovať, funkciu v bode a:

float PrvaDerivacia(float bod)
{
    float xt = bod;
    float h = 0.01 * (1 +  abs(xt));
    bod = xt + h;
    float fp = f(bod);
    bod = xt - h;
    float fm = f(bod);
    bod = xt;
    return (fp - fm)/2/h;
}

A ešte hlavnú funkciu main, ktorá len zavolá funkciu prvaDerivacia a vypíše výsledok na obrazovku:

void main(void)
{
    printf("%f", PrvaDerivacia(2));
    system("pause");
}

Ak program preložíme a spustíme, vypíše hodnotu 12.000895, čo je približne 12. A naozaj. Funkcia x^3 v bode 2 je 8 a jej derivácia 3x^2 v bode 2 je 12. Teda naozaj nami naprogramovaná funkcia derivuje. Newton a Leibniz mali za úlohu vyriešiť ako stanoviť "rýchlosť" zmeny funkcie, teda pomer zmeny y = f(x) k zmene x. V grafickom znázornení, na obrázku nižšie, to znamená, nájsť v danom bode x sklon krivky, ktorý je daný veľkosťou uhlu medzi dotyčnicou ku krivke v danom bode (P, Q) a osou x. V číselnom vyjadrení sa veľkosť uhlu vyjadruje ako smernica dotyčnice k danej krivke alebo aj tangens uhla. Táto veľkosť smernice nie je konštantná, závisí od charakteru krivky. Smernica dotyčnice ku krivke závisí od hodnoty x a táto hodnota závisí od y. Čiže hodnoty smerníc definujú našu krivku.

 

Budeme uvažovať kvôli jednoduchosti funkciu y = x^2 znázornenú na obrázku vyššie. Na konci uvažovania získame všeobecný predpis pre funkciu y = x. Ako je možné vidieť na obrázku, s rastúcou hodnotou x rastie nie len hodnota funkcie y, ale aj smernica, teda uhol. Nebudeme počítať priamo uhol, ale len pomer sklonu medzi bodmi P a Q, teda smernicu úsečky spájajúcu bod P a Q. Výsledkom bude len pomerné číslo. Takže pri danej hodnote x je výška krivky daná výrazom x^2. Ako spočítame smernicu pre danú hodnotu x ? Čiže ako spočítame v trojuholníku na obrázku uhol medzi osou x a úsečkou PQ ? Myšlienka bola nasledujúca. Pozrieme sa na bod Q, ktorého súradnica je x + h. Výška bodu P je x^2 a výška bodu Q je (x + h)^2. Od bodu P do bodu Q sa krivka ohýba smerom hore. Nemôžeme počítať smernicu v takomto rozpoložení, pretože body P a Q sú od seba prive¾mi vzdialené. Sú od seba vzdialené natoľko, že úsečka PQ nesplýva s krivkou (je medzi nimi medzera). Musíme teda úsečku PQ zmenšiť na menšie úsečky, aby tzv. (lepšie) aproximovala danú krivku. Vtip spočíva v tom, že pri veľmi malých hodnotách hodnoty h bude platiť, že v bode P sa smernica bude blížiť smernici tejto úsečky. Čiže stačí nám spočítať smernicu v bode P, teda prírastok výšky, toho trojuholníka, vydelíme prírastkom vo vodorovnom smere. Prírastok výšky je daný výrazom:

 

Tento prírastok označíme ako dy (dy = funkčná hodnota v bode Q - funkčná hodnota v bode P). Takto ho označil aj Leibniz, ovšem Newton bol viac fyzik než matematik a označil ho ako dr, podľa vzorca r = t^2. To preto, pretože Newton používal fyzikálny model podľa ktorého označil r ako vzdialenosť polomeru a t ako čas. Leibnizov model sa používa častejšie, najmä v matematike. Newtonové označenie sa používa z veľkej časti vo fyzike. Prírastok vo vodorovnom smere je h, pretože rozdiel x + h - x = h. Tento prírastok si označíme ako dx. Takže smernica úsečky spájajúca bod P a Q je daná pomerom dy ku dx, z čoho dostaneme:

 

Čitateľ upravíme na tvar:

Po úprave dostaneme:

Tento výraz udáva smernicu úsečky PQ. Ale nespočítali sme smernicu krivky v bode P! Teraz sme v podstate len zderivovali funkciu y = x^2, čoho výsledkom je funkcia y = 2x. Ovšem nie 2x, ale 2x + h. Newton a Leibniz považovali túto hodnotu h = 0, čo nebolo celkom správne. Ak sa pozrieme na obrázok tak so zmenšujúcou sa hodnotou h sa bod Q približuje k bodu P. Pre každý prírastok h odpovedá výraz 2x + h, tzn. že pre akýkoľvek najmenší prírastok h platí smernica úsečky PQ, ktorú sme spočítali. Takže, ak zvolíme za x = 5 a budeme postupne zmenšovať krok h z 0.1 na 0.01 až 0.000001 atï, tak dostaneme postupne hodnoty, 10.1, 10.01, až 10.000001 atï. A tu je jasne vidieť, že so zmenšujúcim sa krokom h sa smernica blíži k celej hodnote čísla, v našom prípade hodnote 10. Teda počítame vlastne limitu od x idúcu k 0. V reálnej praxi by to znamenalo dosadiť h = 0. Newton a Leibniz uvažovali priamo h = 0, čo z matematického hľadiska nebolo správne, pretože ak dosadíme do poslednej rovnice h = 0 tak výraz na ľavej strane nebude definovaný, pretože podiel 0/0 v matematike nie je definovaný. Preto bolo potrebné uvažovať limitné prípady. To znamená, že z geometrického h¾adiska sa so zmenšujúcim sa h bod Q približuje bodu P a rozdiel medzi smernicou úsečky PQ a smernicou krivky v bode P postupne mizne, čo znamená, že limitná hodnota smernice úsečky PQ bude presnou hodnotou smernice krivky v bode P! Čiže smernica krivky pre hodnotu x je daná výrazom 2x, čo je limitná hodnota výrazu 2x + h pre h blížiace sa k nule. Tento nedostatok neskôr odstránil Karl Weierstrass zavedením pojmu limity. 

Použitá inšpirácia: 

• Jazyk matematiky | K. Devlin | Dokořán | Praha 2002 

• Prehľad matematiky | P. Horák, L. Niepel | SPN | Bratislava 1982 

• Introduction to Differential Calculus | Ch. Thomas | Lecture Notes | Sydney 1997